座標の取り方
\begin{align*}
z=x+\i y&\qc \bar{z}=x-\i y\\
\partial_z=\dfrac{x-\i y}{2}&\qc\partial_{\bar{z}}=\dfrac{x+\i y}{2}.
\end{align*}
これを使って計算すると\(\hspace{0.2em}\dd{x}\wedge\dd{y}=\dfrac{\i}{2}\dd{z}\wedge\dd{\bar{z}}\hspace{0.2em}\)となる。なぜか江口・菅原では\(\hspace{0.2em}\dd[2]{x}\eqqcolon\dd[2]{z}\hspace{0.2em}\)。ちなみにPolchinskiでは\(\hspace{0.2em}\dd[2]{z}\sqrt{\abs{\det g}}=\dd{\sigma^1}\dd{\sigma^2}\hspace{0.2em}\)より\(\hspace{0.2em}\dd[2]{z}\coloneqq \dfrac{\dd{\sigma^1}\dd{\sigma^2}}{2}\hspace{0.2em}\)。これは理がある。Greenの定理
実座標では
\begin{align*}
\int_D\dd{x}\wedge\dd{y}\,(\partial_x Q-\partial_y P)=\oint_{\partial D}P\dd{x}+Q\dd{y}.
\end{align*}
地道に計算してもいいが、結局測度の変換と打ち消すので
\begin{align*}
\int_D \dd{z}\wedge\dd{\bar{z}}\,(\partial_z A+\partial_{\bar{z}}B)=\oint_{z\in\partial D}\dd{\bar{z}}A-\dd{z}B.
\end{align*}
ただし\(\hspace{0.2em}A=Q-\i P,\ B=Q+\i P\hspace{0.2em}\)。江口・菅原版測度では
\begin{align*}
\int_D \dd[2]{z}\,(\partial_z A+\partial_{\bar{z}}B)=\oint_{z\in\partial D}\dd{\bar{z}}A-\dd{z}B.
\end{align*}
Green関数
実座標でGreen関数が\(\hspace{0.2em}\ln r\hspace{0.2em}\)であることは知っているので（謎の係数以外は）自明。
\begin{align*}
\int\dd{z}\wedge\dd{\bar{z}}\partial_z\partial_{\bar{z}}\ln\abs{z}&=\oint_{z\in\partial D}\dd{\bar{z}}\partial_{\bar{z}}\ln{\abs{z}}\\
&=\oint_{z\in\partial D}\dd{\bar{z}}\dfrac{1}{2\bar{z}}=-\pi\i\quad(\text{\(\hspace{0.2em}\bar{z}\hspace{0.2em}\)の周回は時計回り})
\end{align*}
となり、謎の係数を考慮すると
\begin{align*}
\int\dd[2]{z}\partial_z\partial_{\bar{z}}\ln{\abs{z}}=\dfrac{\pi}{2}.
\end{align*}
一方でデルタ関数は
\begin{align*}
\int\dd[2]{z}\delta^2(z,\bar{z})=1
\end{align*}
を満たすのが望ましいので、
\begin{align*}
4\partial_z\partial_{\bar{z}}\ln\abs{z}=2\pi\delta^2(z,\bar{z})
\end{align*}
という(1.137)が得られる。