\(\hspace{0.2em}A_1,\dots,A_D, v\in \mathrm{M}(D, \C)\hspace{0.2em}\)と\(\hspace{0.2em}\eta\in \R\hspace{0.2em}\)があって
\begin{align}
\sum_i A_ivA_i^\dagger = \eta v\label{eq:original}
\end{align}
が満たされているとする。ただし、\(\eta\hspace{0.2em}\)は転送行列の絶対値最大の固有値で、かつ縮退しておらず、他の固有値の絶対値は\(\hspace{0.2em}\abs{\eta}\hspace{0.2em}\)未満とする（したがって、両辺のエルミート共役を取ることを考えれば\(\hspace{0.2em}\eta\in \R\hspace{0.2em}\)となる）。両辺のエルミート共役を取ると
\begin{align}
\sum_i A_iv^\dagger A_i^\dagger =\eta v^\dagger
\end{align}
となる。いま\(\hspace{0.2em}\eta\hspace{0.2em}\)は縮退していないと仮定しているので\(\hspace{0.2em}v=v^\dagger\hspace{0.2em}\)となり、固有ベクトル\(\hspace{0.2em}v\hspace{0.2em}\)がエルミート行列であることが分かる。従ってあるユニタリ行列\(\hspace{0.2em}U\hspace{0.2em}\)が存在して
\begin{align}
UvU^{-1}=\mqty[\dmat{\lambda_1,\ddots,\lambda_D}]
\end{align}
と対角化できる。\(\lambda_1,\dots,\lambda_D\hspace{0.2em}\)は\(\hspace{0.2em}v\hspace{0.2em}\)の固有値である。また、
\begin{align}
UA_iU^{-1}=\mqty[\alpha^i_{11}&\cdots&\alpha^i_{1D}\\
\vdots& \ddots &\vdots\\
\alpha^i_{D1}&\cdots &\alpha^i_{DD}]
\end{align}
と置けば\eqref{eq:original}は
\begin{align}
\sum_i \mqty[\alpha^i_{11}&\cdots&\alpha^i_{1D}\\
\vdots& \ddots &\vdots\\
\alpha^i_{D1}&\cdots &\alpha^i_{DD}]
\mqty[\dmat{\lambda_1,\ddots,\lambda_D}]
\mqty[\alpha^{i\ast}_{11}&\cdots&\alpha^{i\ast}_{D1}\\
\vdots& \ddots &\vdots\\
\alpha^{i\ast}_{1D}&\cdots &\alpha^{i\ast}_{DD}]
= \eta \mqty[\dmat{\lambda_1,\ddots,\lambda_D}]\label{eq:diagonalize}
\end{align}
となるような\(\hspace{0.2em}\alpha^i_{jk},\lambda_i,\eta\hspace{0.2em}\)が存在するということと同値である。両辺の対角成分だけ比べると
\begin{align}
\sum_i\mqty[\lambda_1\abs{\alpha^i_{11}}^2+\dots+\lambda_D\abs{\alpha^i_{1D}}^2\\
\vdots\\\lambda_1\abs{\alpha^i_{D1}}^2+\dots+\lambda_D\abs{\alpha^i_{DD}}^2]
=\eta \mqty[\lambda_1\\\vdots\\\lambda_D]\label{eq:diagonal-eq}
\end{align}
が必要である（\eqref{eq:diagonalize}の左辺の非対角成分は\(\hspace{0.2em}0\hspace{0.2em}\)とは限らないので十分ではない）ことが分かる。\(\sum_i\abs{\alpha^i_{jk}}^2\hspace{0.2em}\)を\(\hspace{0.2em}(j,k)\hspace{0.2em}\)成分に持つ行列を\(\hspace{0.2em}B\hspace{0.2em}\)とおくと\eqref{eq:diagonal-eq}は
\begin{align}
B\mqty[\lambda_1\\\vdots\\\lambda_D]=\eta \mqty[\lambda_1\\\vdots\\\lambda_D]
\end{align}
と同値である。ここで\(\hspace{0.2em}B\hspace{0.2em}\)は全ての成分が非負の行列である。Perron-Frobeniusの定理より、\(B\hspace{0.2em}\)の固有ベクトルの成分は全て非負である。すなわち、\(\lambda_1\ge 0,\dots,\lambda_D\ge 0\hspace{0.2em}\)で、\(v\hspace{0.2em}\)は半正定値行列であることが言えた。正定値とは言えないこと
\(\hspace{0.2em}A=\mqty[1 & 0\\4 & 2]\hspace{0.2em}\)とすると
\begin{align}
A\mqty[1&-4\\-4&16]A^\dagger&=1\mqty[1&-4\\-4&16]\\
A\mqty[0&-1\\0&4]A^\dagger&=2\mqty[0&-1\\0&4]\\
A\mqty[0&0\\-1&4]A^\dagger&=2\mqty[0&0\\-1&4]\\
A\mqty[0&0\\0&1]A^\dagger&=4\mqty[0&0\\0&1]
\end{align}
となり、最大固有値\(\hspace{0.2em}4\hspace{0.2em}\)以外の固有値の絶対値は\(\hspace{0.2em}4\hspace{0.2em}\)未満で、\(4\hspace{0.2em}\)も縮退していないが、固有ベクトル\(\hspace{0.2em}\mqty[0&0\\0&1]\hspace{0.2em}\)は正定値ではない。半正定値であっても、エルミートであることから、ユニタリ行列による対角化を考えれば\(\hspace{0.2em}XX^\dagger\hspace{0.2em}\)と分解することはたやすい。
\begin{align}
\sum_i A_ivA_i^\dagger = \eta v\tag*{\eqref{eq:original}}
\end{align}
\begin{align}
\sum_i \mqty[\alpha^i_{11}&\cdots&\alpha^i_{1D}\\
\vdots& \ddots &\vdots\\
\alpha^i_{D1}&\cdots &\alpha^i_{DD}]
\mqty[\dmat{\lambda_1,\ddots,\lambda_D}]
\mqty[\alpha^{i\ast}_{11}&\cdots&\alpha^{i\ast}_{D1}\\
\vdots& \ddots &\vdots\\
\alpha^{i\ast}_{1D}&\cdots &\alpha^{i\ast}_{DD}]
= \eta \mqty[\dmat{\lambda_1,\ddots,\lambda_D}]\tag*{\eqref{eq:diagonalize}}
\end{align}
\begin{align}
\sum_i\mqty[\lambda_1\abs{\alpha^i_{11}}^2+\dots+\lambda_D\abs{\alpha^i_{1D}}^2\\
\vdots\\\lambda_1\abs{\alpha^i_{D1}}^2+\dots+\lambda_D\abs{\alpha^i_{DD}}^2]
=\eta \mqty[\lambda_1\\\vdots\\\lambda_D]\tag*{\eqref{eq:diagonal-eq}}
\end{align}