$$\def\ee{\mathbb{e}}$$
接平面間のベクトルの平行移動
曲面上の曲線\(\hspace{0.2em}R(t)\hspace{0.2em}\)に沿って平面上の接ベクトルを平行移動することを考える。\(t\hspace{0.2em}\)を指定すれば曲面上の点が定まり、したがってその点における局所的な正規直交基底\(\hspace{0.2em}\ee_1,\ee_2,\ee_3\hspace{0.2em}\)を指定できる。これらのベクトルは、曲面が埋め込まれている\(\hspace{0.2em}\R^3\hspace{0.2em}\)内のベクトルである。ただし\(\hspace{0.2em}\ee_1\cross\ee_2=\ee_3,\norm{\ee_i}=1\hspace{0.2em}\)。\(t\hspace{0.2em}\)が変化して曲線上で点が移動するにつれて、基底ベクトルも変化することになるので、基底ベクトルは時間依存性を持つ。 曲線上の各点において接ベクトル
\begin{align}
\bm{v}(t)\coloneqq\cos\alpha(t)\ee_1(t)+\sin\alpha(t)\ee_2(t)
\end{align}
を定められる。全ての\(\hspace{0.2em}t\hspace{0.2em}\)について集めれば、これは曲線\(\hspace{0.2em}R(t)\hspace{0.2em}\)上のベクトル場をなすことになる。さらに
\begin{align}
\bm{w}(t)\coloneqq\ee_3(t)\cross\bm{v}(t)\label{eq:w-def}
\end{align}
と定めれば、\((\bm{v},\bm{w},\ee_3)\hspace{0.2em}\)は正規直交基底をなす。以降で、\((\bm{v},\bm{w},\ee_3)\hspace{0.2em}\)を平行移動させるには\(\hspace{0.2em}\alpha(t)\hspace{0.2em}\)をどう定めればよいか考える。平行移動させるにはそもそも平行移動を定義する必要がある。ここでは
\begin{align}
\text{\(\hspace{0.2em}(\bm{v},\bm{w},\ee_3)\hspace{0.2em}\)が平行移動する}\iff \ee_3\cross \dd{\bm{v}}=0\label{eq:parallel-cond-real}
\end{align}
とする。つまり\(\hspace{0.2em}\bm{v}\hspace{0.2em}\)の変化を\(\hspace{0.2em}\ee_3\hspace{0.2em}\)に平行な方向のみに制限する。これに左から\(\hspace{0.2em}\ee_1\cross\hspace{0.2em}\)をかけるとベクトル解析の公式より
$$
0=\ee_1\cross (\ee_3\cross\dd{\bm{v}})=(\ee_1\cdot\dd{\bm{v}})\ee_3-(\ee_1\cdot\ee_3)\dd{\bm{v}}
$$
となり（あるいは\(\hspace{0.2em}\ee_3\hspace{0.2em}\)方向に制限された移動は\(\hspace{0.2em}\ee_1\hspace{0.2em}\)とは直交するという理解もできる）、
$$
\ee_1\cdot\dd{\bm{v}}=0
$$
が分かる。ところで
\begin{align*}
\dd{\bm{v}}&=-\sin\alpha(t)\dd{\alpha(t)}\ee_1(t)+\cos\alpha(t)\dd{\ee_1}\\
&\quad +\cos\alpha(t)\dd{\alpha(t)}\ee_2(t)+\sin\alpha(t)\dd{\ee_2}
\end{align*}
なので、\(\norm{\ee_1}^2=1\hspace{0.2em}\)を微分して\(\hspace{0.2em}\dd{\ee_1}\cdot\ee_1=0\hspace{0.2em}\)が成り立つことに気をつければ
\begin{align}
\ee_1\cdot\dd{\bm{v}}=0\iff \dd{\alpha}=\ee_1\cdot\dd{\ee_2}\eqqcolon \omega_{21}
\end{align}
と、平行移動するための\(\hspace{0.2em}\alpha(t)\hspace{0.2em}\)の条件が決まる。つまり、\(\dd{\ee_2}\hspace{0.2em}\)は\(\hspace{0.2em}\ee_2\hspace{0.2em}\)と直交しているので\(\hspace{0.2em}\ee_1,\ee_3\hspace{0.2em}\)成分しか持たないが、そのうち\(\hspace{0.2em}\ee_1\hspace{0.2em}\)成分だけで\(\hspace{0.2em}\dd{\alpha}\hspace{0.2em}\)が決まる（変化の\(\hspace{0.2em}\ee_3\hspace{0.2em}\)成分は\(\hspace{0.2em}\bm{v}\hspace{0.2em}\)もその方向に動くことで打ち消す）、というのが平行移動の条件である。この\(\hspace{0.2em}\omega_{21}\hspace{0.2em}\)を接続と呼ぶ。\(\ee_1\cdot\ee_2=0\hspace{0.2em}\)を微分して
\begin{align}
\omega_{12}=-\dd{\ee_1}\cdot\ee_2
\end{align}
も分かる。これはスピン接続の反対称性そのものである。複素ベクトル表示
量子力学へ近づけていくためにベクトルを複素表示する。すなわち局所座標系を
\begin{align}
\bm{n}&=\dfrac{\ee_1(t)+\i\ee_2(t)}{\sqrt{2}}
\end{align}
という1つの複素ベクトルで表し、平行移動する座標系は
\begin{align}
\psi&=\dfrac{\bm{v}(t)+\i\bm{w}(t)}{\sqrt{2}}=\bm{n}(t)\e^{-\i\alpha(t)}
\end{align}
と表すことにする。平行移動の条件\eqref{eq:parallel-cond-real}より
\begin{align}
\ee_3\cross \dd{\bm{v}}=0\iff \dd{\bm{w}}=\dd{\ee_3}\cross\bm{v}\stackrel{\cssId{parallel-iff}{(\ast)}}{\iff} \bm{v}\cdot \dd{\bm{w}}=0\stackrel{\bm{v}\cdot\bm{w}=0}{\iff} \bm{w}\cdot \dd{\bm{v}}=0\label{eq:parallel-cond-iff}
% \ee_3\cross \dd{\bm{v}}\implies 0=\bm{w}\cross(\ee_3\cross \dd{\bm{v}})=(\bm{w}\cdot\dd{\bm{v}})\ee_3\iff \bm{w}\cdot \dd{\bm{v}}=0
\end{align}
という同値条件が得られる。\(\href{#parallel-iff}{(\ast)}\hspace{0.2em}\)について、\(\implies\hspace{0.2em}\)はstraight-forwardだが、\(\impliedby\hspace{0.2em}\)は自明ではないので以下で説明する。まず\eqref{eq:w-def}に左から\(\hspace{0.2em}\bm{v}\cross\hspace{0.2em}\)をかけて
\begin{align}
\ee_3=\bm{v}\cross\bm{w}
\end{align}
が分かる。微分して
\begin{align}
\dd{\ee_3}=\dd{\bm{v}}\cross\bm{w}+\bm{v}\cross\dd{\bm{w}}
\end{align}
なので、
\begin{align}
\bm{v}\cdot\dd{\bm{w}}=0\implies \bm{v}\cross\dd{\ee_3}&=0+\bm{v}\cross(\bm{v}\cross\dd{\bm{w}})=-\dd{\bm{w}}
\end{align}
となる。こうして、\(\href{#parallel-iff}{(\ast)}\hspace{0.2em}\)が同値条件であることが確かめられた。\eqref{eq:parallel-cond-iff}より平行移動の条件を
\begin{align}
\Im (\psi^\ast\dd{\psi})=\dfrac{1}{2}[\bm{v}(t)\cdot\dd{\bm{w}}(t)-\bm{w}(t)\cdot\dd{\bm{v}(t)}]=0
\end{align}
と定められる。また、\(\norm{\psi}^2=1\hspace{0.2em}\)より
\begin{align}
\Re (\psi^\ast\dd{\psi})=0
\end{align}
も成り立つ。\begin{align}
\bm{w}(t)\coloneqq\ee_3(t)\cross\bm{v}(t)\tag*{\eqref{eq:w-def}}
\end{align}
\begin{align}
\text{\(\hspace{0.2em}(\bm{v},\bm{w},\ee_3)\hspace{0.2em}\)が平行移動する}\iff \ee_3\cross \dd{\bm{v}}=0\tag*{\eqref{eq:parallel-cond-real}}
\end{align}
\begin{align}
\ee_3\cross \dd{\bm{v}}=0\iff \dd{\bm{w}}=\dd{\ee_3}\cross\bm{v}\stackrel{\cssId{parallel-iff}{(\ast)}}{\iff} \bm{v}\cdot \dd{\bm{w}}=0\stackrel{\bm{v}\cdot\bm{w}=0}{\iff} \bm{w}\cdot \dd{\bm{v}}=0\tag*{\eqref{eq:parallel-cond-iff}}
% \ee_3\cross \dd{\bm{v}}\implies 0=\bm{w}\cross(\ee_3\cross \dd{\bm{v}})=(\bm{w}\cdot\dd{\bm{v}})\ee_3\iff \bm{w}\cdot \dd{\bm{v}}=0
\end{align}