\(a\hspace{0.2em}\)が素元\(\hspace{0.2em}\implies a\hspace{0.2em}\)が既約元
実際\(\hspace{0.2em}b,c\in A\hspace{0.2em}\)が存在して\(\hspace{0.2em}a=bc\hspace{0.2em}\)と書けるなら、\((a)\hspace{0.2em}\)が素イデアルであることから（一般性を失わずに）\(b\in (a)\hspace{0.2em}\)が言える。よって\(\hspace{0.2em}b'\in A\hspace{0.2em}\)が存在して\(\hspace{0.2em}b=ab'\hspace{0.2em}\)であり、\(a=ab'c\hspace{0.2em}\)。\(A\hspace{0.2em}\)が聖域であることから\(\hspace{0.2em}b'c=1\hspace{0.2em}\)となり、\(c\in A^\times\hspace{0.2em}\)。よって\(\hspace{0.2em}a\hspace{0.2em}\)は既約元。
ちなみに逆は一般に不成立で、例えば\(\hspace{0.2em}\Z[\sqrt{-5}]\hspace{0.2em}\)において\(\hspace{0.2em}2\cdot 3\hspace{0.2em}\)は\(\hspace{0.2em}(1+\sqrt{-5})(1-\sqrt{-5}\hspace{0.2em}\)とも因数分解できるので\(\hspace{0.2em}2\hspace{0.2em}\)は素元ではない（\(1+\sqrt{-5}\hspace{0.2em}\)も\(\hspace{0.2em}1-\sqrt{-5}\hspace{0.2em}\)も\(\hspace{0.2em}(2)\subset\Z[\sqrt{-5}]\hspace{0.2em}\)に含まれない）。一方で\(\hspace{0.2em}2\hspace{0.2em}\)は既約元（←PIDだから？）。
再び\(\hspace{0.2em}A\hspace{0.2em}\)を整域とする。
(1)\(\hspace{0.2em}A\hspace{0.2em}\)がUFDならば\(\hspace{0.2em}A\hspace{0.2em}\)の素元と\(\hspace{0.2em}A\hspace{0.2em}\)の既約元の集合は一致する。
素元\(\hspace{0.2em}\implies\hspace{0.2em}\)既約元であることはすでに示した。\(a\in A\setminus(A^\times\hspace{0.2em}\)が既約元だとする。\((a)\neq A\hspace{0.2em}\)である。\(A\hspace{0.2em}\)がUFDであることから素元\(\hspace{0.2em}p_i\hspace{0.2em}\)たちが存在して\(\hspace{0.2em}a=p_1(p_2\dots p_l)\hspace{0.2em}\)と分解できる。\(l\ge 2\hspace{0.2em}\)だと仮定すると、\(a\hspace{0.2em}\)が既約元であることから（一般性を失わずに）\(p_2\dots p_l\in A^\times\hspace{0.2em}\)が言えるが、これは\(\hspace{0.2em}p_2\in A^\times\hspace{0.2em}\)を意味し、\(p_2\hspace{0.2em}\)が素元であることに矛盾する。したがって\(\hspace{0.2em}l=1\hspace{0.2em}\)であり、\(a=p_1\hspace{0.2em}\)となって既約元\(\hspace{0.2em}\implies\hspace{0.2em}\)素元も言えた。
(2)\(\hspace{0.2em}A\hspace{0.2em}\)がUFD\(\hspace{0.2em}\iff {}^\forall a\in A\setminus(A^\times\cup\zero)\hspace{0.2em}\)は①既約元の積に分解できる。②既約元の積への分解は同伴を除いて一意。 すなわち、①既約元\(\hspace{0.2em}q_i\hspace{0.2em}\)たちがあって\(\hspace{0.2em}a=q_1\dots q_l\hspace{0.2em}\)。②\(\hspace{0.2em}a=q_1\dots q_l =q_1'\dots q_l' \implies l=l'\hspace{0.2em}\)かつ番号を付け替えれば\(\hspace{0.2em}u_i\in A^\times\hspace{0.2em}\)があって\(\hspace{0.2em}q_i'=q_i u_i\hspace{0.2em}\)。
\(\hspace{0.2em}\implies\hspace{0.2em}\)：①\(\hspace{0.2em}A\hspace{0.2em}\)がUFDであること、素元は既約元であることから言える。②既約元\(\hspace{0.2em}q_i,q_i'\hspace{0.2em}\)があって\(\hspace{0.2em}a=q_1\dots q_l =q_1'\dots q'_{l'}\hspace{0.2em}\)と分解できるとする。\(A\hspace{0.2em}\)がUFDなので\(\hspace{0.2em}q_i,q'_i\hspace{0.2em}\)は素元でもある。すると\(\hspace{0.2em}(q_1)\ni q_1\dots q_l =q_1'\dots q'_{l'}\hspace{0.2em}\)が言える。\((q_1)\hspace{0.2em}\)が素イデアルであることから（添字を付け替えて）\({}^\exists q_1'\in(q_1)\hspace{0.2em}\)が言える。すなわち\(\hspace{0.2em}{}^\exists u_1\in A, q_1'=q_1u_1\hspace{0.2em}\)。また\(\hspace{0.2em}q_1'\hspace{0.2em}\)が既約元でかつ\(\hspace{0.2em}q_1\notin A^\times\hspace{0.2em}\)より\(\hspace{0.2em}u_1\in A^\times\hspace{0.2em}\)が分かる。\(q_1\neq 0\hspace{0.2em}\)かつ\(\hspace{0.2em}A\hspace{0.2em}\)が整域であることから\(\hspace{0.2em}q_2\dots q_l=(u_1 q_2')\dots q'_{l'}\hspace{0.2em}\)が言え、（\(l=1\hspace{0.2em}\)の場合は既約元の定義そのものなので）\(l\hspace{0.2em}\)についての帰納法から\(\hspace{0.2em}l=l'\hspace{0.2em}\)が言え、以降も添字を付け替えることによって\(\hspace{0.2em}{}^\exists u_i\in A^\times, q_i'=q_iu_i\hspace{0.2em}\)が成り立つ。
\(\hspace{0.2em}\impliedby\hspace{0.2em}\)：\(a\hspace{0.2em}\)を\(\hspace{0.2em}A\hspace{0.2em}\)の既約元とする。\(a\hspace{0.2em}\)が素元であると言いたい。\({}^\exists b,c,y\in A, bc=ay\hspace{0.2em}\)と書けるとする（つまり\(\hspace{0.2em}bc\in(a)\)）。①より既約元\(\hspace{0.2em}q_i,q'_i,q''_i\hspace{0.2em}\)があって\(\hspace{0.2em}y=q''_1\dots q''_n, b=q_1\dots q_l, c=q_1'\dots q_m'\hspace{0.2em}\)とそれぞれ分解できる（？\(\hspace{0.2em}b,c\hspace{0.2em}\)は単元でもありうるのでは）。