成分表示に頼らずに書く。
接ベクトル
\begin{align}
\qq*{曲線}c&\colon (a,b)\to M\quad(a<0<b)\\
\qq*{多様体上の関数}f&\colon M\to\R
\end{align}
を用いて
\begin{align}
X&\in T_{c(0)}M\\
\eval{\dv{f(c(t))}{t}}_{t=0}&\eqqcolon X[f]\in \R
\end{align}
によって点\(\hspace{0.2em}c(0)\hspace{0.2em}\)における接ベクトルを定義する。\(M\hspace{0.2em}\)上のベクトル場は
\begin{align}
\mathfrak{X}(M)\ni X&\colon M\to TM\qc p\mapsto \eval{X}_p
\end{align}
と、多様体上の各点に接ベクトルを対応付ける関数と見なせる。\(f\hspace{0.2em}\)を作用させたものは
\begin{align}
X&\in \mathfrak{X}(M)\\
f&\colon M\to\R\\
X[f]&\colon M\to\R\qc p\mapsto \eval{\dv{f(c(t))}{t}}_{c^{-1}(p)}
\end{align}
と見なせる。微分写像
\(\hspace{0.2em}f\colon M\to N\hspace{0.2em}\)に対して微分写像
\begin{align}
f_\ast&\colon T_pM\to T_{f(p)}N
\end{align}
が誘導出来て
\begin{align}
g&\colon N\to \R\\
\qq*{ベクトル}V&\in T_pM\\
\qq*{ベクトル}f_\ast V&\in T_{f(p)}N\\
(f_\ast V)[g]&\coloneqq V[g\circ f]\in\R
\end{align}
と定義される。ベクトル場の押し出しは
\begin{align}
f&\colon M\to N\\
g&\colon N\to \R\\
X&\in \mathfrak{X}(M)\\
X[g\circ f]&=f_\ast X[g]\circ f\colon M\to\R\\
f_\ast X[g]&\colon N\to \R
\end{align}
と見なせる。Lie括弧積
\begin{align}
\qq*{ベクトル場}X,Y,\comm{X}{Y}&\in\mathfrak{X}(M)\\
f&\colon M\to\R\\
\comm{X}{Y}f&\coloneqq X[Y[f]]-Y[X[f]]\colon M\to\R
\end{align}
Lie括弧積が1階微分になることを成分に依らず示すことはできるのだろうか。Lie括弧積の押し出し
\(f_\ast\comm{X}{Y}=\comm{f_\ast X}{f_\ast Y}\hspace{0.2em}\)
\begin{align}
g&\colon N\to\R\\
(f_\ast\comm{X}{Y})[g]\circ f&=\comm{X}{Y}(g\circ f)\\
&=X[Y[g\circ f]]-Y[X[g\circ f]]\\
&=X[f_\ast Y[g]\circ f]-Y[f_\ast X[g]\circ f]\\
&=f_\ast X[f_\ast Y[g]]\circ f-f_\ast Y[f_\ast X[g]]\circ f\\
&=(\comm{f_\ast X}{f_\ast Y}g)\circ f
\end{align}
ただし等号は関数としてのものである。引き戻し
ベクトルについては
\begin{align}
V&\in T_pM\qc \omega\in T^\ast_{f(p)}N\\
f&\colon M\to N\\
\ev{f^\ast \omega, V}&\coloneqq \ev{\omega, f_\ast V}\in\R
\end{align}
であり、ベクトル場については
\begin{align}
V&\in \mathfrak{X}(M)\qc \omega\in \Omega(N)\\
f&\colon M\to N\\
\ev{f^\ast \omega, V}&=\ev{\omega, f_\ast V}\circ f\colon M\to\R
\end{align}
と見なせる。\(\hspace{0.2em}r\)-形式については
\begin{align}
f&\colon M\to N\qc\omega\in\Omega^r(M)\\
(f^\ast\omega)(X_1,\dots,X_r)&\coloneqq \omega(f_\ast X_1,\dots,f_\ast X_r)\in\R\quad(X_i\in T_pM)\\
(f^\ast\omega)(X_1,\dots,X_r)&= \omega(f_\ast X_1,\dots,f_\ast X_r)\circ f\colon M\to\R\quad(X_i\in\mathfrak{X}(M))
\end{align}
と見なせる。外微分
\begin{align}
\dd{\omega}(X,Y)&=X[\omega(Y)]-Y[\omega(X)]-\omega(\comm{X}{Y})
\end{align}
と展開できることを用いて
\begin{align}
\omega&\in \Omega^2(N)\qc X,Y\in \mathfrak{X}(M)\qc f\colon M\to N\\
\dd(f^\ast\omega)(X,Y)&=X[f^\ast\omega(Y)]-Y[f^\ast\omega(X)]\circ f-f^\ast\omega(\comm{X}{Y})\\
&=X[\omega(f_\ast Y)\circ f]-Y[\omega(f_\ast X)\circ f]-\omega(f_\ast\comm{X}{Y}\circ f)\\
&=f_\ast X[\omega(f_\ast Y)]\circ f-f_\ast Y[\omega(f_\ast X)]\circ f-\omega(\comm{f_\ast X}{f_\ast Y}\circ f)\\
&=\dd{\omega}(f_\ast X,f_\ast Y)\circ f\\
&=f^\ast(\dd{\omega})(X,Y)
\end{align}
と、外微分と引き戻しが可換であることが分かる。