$$
\def\Im{\operatorname{Im}}
\def\Ker{\operatorname{Ker}}
\def\Td{\operatorname{Td}}
\def\ch{\operatorname{ch}}
$$
\(\Delta_p=D_p^\ast D_p+D_{p-1}D^\ast_{p-1}\hspace{0.2em}\)が単射\(\hspace{0.2em}\iff \Ker D_p=\Im D_{p-1}\hspace{0.2em}\).
\begin{align}
\Ker D_p\ni f&=f_1+f_2\in \underbrace{\Ker D^\ast_{p-1}\oplus\Im D_{p-1}=C^\infty(E_p)}_{\eqref{eq:adjoint-oplus}}\\
\ev{D_{p-1}^\ast f,g}&=\ev{f,D_{p-1}g}\therefore \Ker D_{p-1}^\ast=(\Im D_{p-1})^\perp\label{eq:adjoint-oplus}\\
\text{冪零性より}D_pf_2&=0\therefore D_pf_1=0\therefore f_1\in \Ker D_p\cap\Ker D^\ast_{p-1}\text{より}\Delta_pf_1=0.
\end{align}
冪零性から来る\(\hspace{0.2em}\Ker D_p\supset \Im D_{p-1}\hspace{0.2em}\)に気を付ければ
\begin{align}
\Delta_p\text{が単射}\iff \Ker D^\ast_{p-1}=\{0\}\iff \Ker D_p=\Im D_{p-1}
\end{align}
参考：幾何学A 多様体上の楕円型微分作用素 -Hodge theorem-
全射性は言えていないが、\(E_{p-1}\hspace{0.2em}\),\(\hspace{0.2em}E_p\hspace{0.2em}\),\(\hspace{0.2em}E_{p+1}\hspace{0.2em}\)のファイバー次元が等しければ、表象がfull rankの行列になるので楕円型作用素と言えよう。と書いたけれど、\eqref{eq:adjoint-oplus}が危うい。\(\dim \Ker D^\ast = \dim\Ker D\hspace{0.2em}\)なら次元定理\(\hspace{0.2em}\dim \Ker D_{p-1}+\dim\Im D_{p-1}=C^\infty(E_{p-1})\hspace{0.2em}\)および各ファイバーの次元が等しいという仮定の下直和分解が言えるが、\(\operatorname{ind}D=\dim\Ker D-\dim\Ker D^\ast\hspace{0.2em}\)などもあることから一般には一致しなさそう。でも正方行列ならエルミート転置を取っても階数は変わらないから一致する気もする。
捻れDolbeault複体
\begin{align}
\Td(\mathcal{F})&=1+\dfrac{1}{2}c_1(\mathcal{F})+\cdots\\
\ch{\mathcal{F}}&=\dim V+c_1(\mathcal{F})+\dots\\
\operatorname{ind}(\overline{\partial}_V)&=\dfrac{1}{2}\dim V\int_M c_1(TM^+)+\int_Mc_1(V)
\end{align}
\(S^4\hspace{0.2em}\)上の\(\hspace{0.2em}\mathrm{SU}(2)\hspace{0.2em}\)主束
\begin{align}
\nu_+-\nu_-=-\int_Mc_2(V)=-\dfrac{1}{8\pi^2}\int_M\Tr(\varOmega\wedge\varOmega)=\mp\dfrac{1}{8\pi^2}\int_M\Tr(\varOmega\wedge\ast\varOmega)
\end{align}
\(\hspace{0.2em}\ds\int_M\varOmega\wedge\ast\varOmega<0\hspace{0.2em}\)でないとおかしい？自己双対の場合は\(\hspace{0.2em}\nu_-=0\hspace{0.2em}\)、反自己双対の場合は\(\hspace{0.2em}\nu_+=0\hspace{0.2em}\)となるらしい。
\(\C P^1=S^2\hspace{0.2em}\)
\(\hspace{0.2em}\C P^1\hspace{0.2em}\)は\(\hspace{0.2em}(z_0,z_1)\in\C^2\setminus\{0\}\hspace{0.2em}\)と\(\hspace{0.2em}(\alpha z_0,\alpha z_1)\ (\alpha\in\C\setminus\{0\})\hspace{0.2em}\)を同一視したもので、\(z_1/z_0\in\C\cup\{\infty\}\hspace{0.2em}\)と同一視できる（はず）。
\begin{align}
\Ker D_p\ni f&=f_1+f_2\in \underbrace{\Ker D^\ast_{p-1}\oplus\Im D_{p-1}=C^\infty(E_p)}_{\eqref{eq:adjoint-oplus}}\\
\ev{D_{p-1}^\ast f,g}&=\ev{f,D_{p-1}g}\therefore \Ker D_{p-1}^\ast=(\Im D_{p-1})^\perp\tag*{\eqref{eq:adjoint-oplus}}\\
\text{冪零性より}D_pf_2&=0\therefore D_pf_1=0\therefore f_1\in \Ker D_p\cap\Ker D^\ast_{p-1}\text{より}\Delta_pf_1=0.
\end{align}