Levi-Civita接続\(\hspace{0.2em}\nabla_{\partial_\lambda}\hspace{0.2em}\)はパラメータ微分\(\hspace{0.2em}\partial_\lambda\hspace{0.2em}\)を接平面に射影したもの。Christoffel記号の定義は
\begin{align}
\nabla_{\partial_i}(\partial_j)\eqqcolon \varGamma^k{}_{ij}\partial_k.
\end{align}
例：
\begin{align}
\bm{x}&=\mqty[\sin\theta\cos\phi\\\sin\theta\sin\phi\\\cos\theta]\\
\bm{u}_1\coloneqq \partial_\theta\bm{x}&=\mqty[\cos\theta\cos\phi\\\cos\theta\sin\phi\\-\sin\theta]\\
\bm{u}_2\coloneqq\partial_\phi\bm{x}&=\mqty[-\sin\theta\sin\phi\\\sin\theta\cos\phi\\0]\\
g_{ij}&=\mqty[\bm{u}_1\cdot\bm{u}_1&\bm{u}_1\cdot\bm{u}_2\\\bm{u}_2\cdot\bm{u}_1&\bm{u}_2\cdot\bm{u}_2]=\mqty[1&\\&\sin^2\theta]\\
\partial_\theta\bm{u}_1&=-\bm{x}\\
\partial_\phi\bm{u}_1&=\partial_\theta\bm{u}_2=\cot\theta\bm{u}_2\\
\partial_\phi\bm{u}_2&=-\sin^2\theta\bm{x}-\cos\theta\sin\theta\bm{u}_1\\
\nabla_{\partial_\theta}(\partial_\theta)&=0\\
\nabla_{\partial_\phi}(\partial_\theta)&=\nabla_{\partial_\theta}(\partial_\phi)=\underbrace{\cot\theta}_{\varGamma^2{}_{12}}\partial_\phi\\
\nabla_{\partial_\phi}(\partial_\phi)&=\underbrace{-\cos\theta\sin\theta}_{\varGamma^1{}_{22}}\partial_\theta\\
\end{align}
\(x(t)\,\text{が測地線}\iff\nabla_{\dot{x}}(\dot{x})=0.\hspace{0.2em}\)
上の例では緯線の速度ベクトルは\(\hspace{0.2em}\bm{u}_2\hspace{0.2em}\)となって\(\hspace{0.2em}\nabla_{\dot{x}}(\dot{x})=-\cos\theta_0\sin\theta_0\bm{u}_1\hspace{0.2em}\)。よって赤道では測地線となる（極は特異点なので考えない）。経線はいつでも測地線。
ベクトル\(\hspace{0.2em}s(t)\hspace{0.2em}\)が曲線\(\hspace{0.2em}x(t)\hspace{0.2em}\)に沿って平行移動する\(\hspace{0.2em}\iff \nabla_{\dot{x}}(s)=0.\hspace{0.2em}\)
\(\hspace{0.2em}S^2\hspace{0.2em}\)上で\(\hspace{0.2em}(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\hspace{0.2em}\)を測地線で結んだ三角形の周りを平行移動で一周させると\(\hspace{0.2em}\pi/2\hspace{0.2em}\)回転して戻ってくる。これは三角形の面積に等しい。
ホロノミーは曲率に関係している。
一般化
・前提
\begin{align}
E&\colon \text{ベクトル束}\\
\qty{\bm{e}_i}_i&\colon \text{\(\hspace{0.2em}U\hspace{0.2em}\)近傍の局所フレーム（切断の集まり）}\\
Z=\bm{e}_iz^i&\colon \pi^{-1}(U)\text{のベクトル（ファイバー）の局所的な表現}\\
(x,z)&\colon\text{局所自明化}\\
s(x)=\bm{e}_iz^i(x)&\colon\text{局所切断とベクトル値関数\(\hspace{0.2em}M\to\mathbb{R}^k\hspace{0.2em}\)の同一視}\\
TE&\colon(\partial/\partial x^\mu,\partial/\partial z^i)\\
T^\ast E&\colon (\dd{x^\mu},\dd{z^i})
\end{align}
・平行移動
\(s\hspace{0.2em}\)が\(\hspace{0.2em}x\hspace{0.2em}\)に沿って平行移動する\(\hspace{0.2em}\iff \underbrace{\nabla_{\dot{x}}s=0}_{\text{初期条件に対して解が一意}}\hspace{0.2em}\)
\begin{align}
\nabla_{\partial_\mu}\bm{e}_i&\eqqcolon\bm{e}_j\varGamma^j{}_{\mu i}\label{eq:christoffeldef}\\
\nabla_{\dot{x}}s&=\nabla_{\dot{x}^\mu\partial_\mu}(\bm{e}_iz^i)\\
&=\dot{x}^\mu[(\nabla_{\partial_\mu}\bm{e}_i)z^i+\bm{e}_j\partial_\mu z^j]\\
&=\dot{x}^\mu\bm{e}_j[\varGamma^i_{\mu i}z^i+\partial_\mu z^j]=0\label{eq:paratrans}
\end{align}
・接平面
\begin{align}
x(t)\in M\xrightarrow{\text{持ち上げ}}c(t)=(x^\mu(t),z^i(t))\in M\times F
\end{align}
\(\hspace{0.2em}\dot{z}^i\hspace{0.2em}\)は\eqref{eq:paratrans}で決まり、
\begin{align}
\dv{t}&=\dot{x}^\mu\pdv{x^\mu}+\dot{z}^i\pdv{z^i}\eqqcolon \dot{x}^\mu D_\mu
\end{align}
\begin{align}
T_x(E)&=V_x(E)\oplus H_x(E)=\ev{\pdv{z^i}}\oplus\ev{D_\mu}
\end{align}
・余接空間的
\begin{align}
\omega^i&=\dd{z}^i+\varGamma^i{}_{\mu j}\dd{x}^\mu z^j\in T^\ast E\label{eq:omegadef}
\end{align}
で定める（平行移動方程式の左辺に対応）。
\begin{align}
\ev{\omega^i,D_\mu}&=0\\
\ev{\omega^i,\partial_{z^j}}&=\delta_{ij}\quad(\text{\(\hspace{0.2em}z\hspace{0.2em}\)と\(\hspace{0.2em}x\hspace{0.2em}\)は直交})
\end{align}
つまり\(\hspace{0.2em}\omega^i\hspace{0.2em}\)は\(\hspace{0.2em}T(E)\hspace{0.2em}\)のうち\(\hspace{0.2em}V(E)\hspace{0.2em}\)だけを取り出す射影。
\begin{align}
\varGamma^i{}_j&\coloneqq\varGamma^i{}_{\mu j}\dd{x}^\mu\\
\nabla s&=\bm{e}_i\otimes(\dd{z}^i(x)+\varGamma^i{}_jz^j(x))\in E\otimes T^\ast M\eqref{eq:totaldiffdef}\\
\nabla Z&=\bm{e}_i\otimes \omega^i\in E\otimes T^\ast E\qqtext{where}Z=\bm{e}_iz^i\in\pi^{-1}(U)
\end{align}
$$
\def\uo{{\text{ファイバー}\,Z}}
\def\uon{{\text{}\,s}}
$$
\begin{xy}
*[white]\xymatrix{\uo \ar[r] & \text{共変微分}\nabla(Z),\,\text{接続形式}\,\omega^i \ar[d]^{\text{引き戻し}} \\\uon \ar[u]^{\text{局所切断}\,z_i(x)} \ar[r] & \nabla(s),\dd{z}^i(x)+\varGamma^i{}_jz^j(x)}
\end{xy}
・公理的
方向共変微分が満たすべき性質：
\begin{align}
\nabla_X(s+s')&=\nabla_Xs+\nabla_Xs'\\
\nabla_{X+X'}s&=\nabla_Xs+\nabla_{X'}s\\
\nabla_X(sf)&=s\cdot X(f)+(\nabla_Xs)f\\
\nabla_{fX}(s)&=f\nabla_X(s)\\
s&\colon M\to E\\
X&\colon M\text{上のベクトル場}\\
f&\colon M\to \mathbb{R}
\end{align}
全共変微分が満たすべき性質
\begin{align}
\nabla(s+s')&=\nabla s+\nabla{s'}\\
\nabla(sf)&=s\otimes\dd{f}+(\nabla{s})f
\end{align}
上2つの関係：
\begin{align}
\nabla s&=\nabla_{\partial^\mu}s\otimes\dd{x^\mu}\\
\nabla_Xs&=\ev{\nabla{s},X}\\
X&\in C^\infty(TM)\\
\nabla{s}&\in C^\infty(E\otimes T^\ast M)
\end{align}
\(\hspace{0.2em}p\hspace{0.2em}\)形式の切断に対して
\begin{align}
\nabla(s\otimes \theta)&=\nabla s\wedge\theta+s\otimes\dd{\theta}\label{eq:pformdiff}\\
s&\in C^\infty(E)\\
\theta&\in C^\infty (\Lambda^p M)\quad(\text{\(\hspace{0.2em}M\hspace{0.2em}\)上の\(\hspace{0.2em}p\hspace{0.2em}\)形式})
\end{align}
・フレームの変換的
\begin{align}
\bm{e}'_j&=\bm{e}_i\otimes\varPhi^{-1}_{ij}(x)\\
z'^i&=\varPhi_{ij}(x)z^j\\
s(x)&=s'(x)\\
\nabla \bm{e}'_j&=\nabla\bm{e}_i\otimes \varPhi^{-1}_{ij}+\bm{e}_i\otimes\dd{\varPhi^{-1}_{ij}}\\
&=\bm{e}'_l\varPhi_{lk}\varGamma^k{}_i\otimes \varPhi^{-1}_{ij}+\bm{e}'_{l}\varPhi_{li}\otimes\dd{\varPhi^{-1}_{ij}}\quad\eqref{eq:christoffeldef}\\
&=\bm{e}'_i\otimes \underbrace{(\varPhi_{ik}\varGamma^k{}_l\varPhi^{-1}_{lj}+\varPhi_{ik}\dd{\varPhi^{-1}_{kj}})}_{\varGamma'^i{}_j}
\end{align}
この変換則に従うものを\(\hspace{0.2em}\varGamma^i{}_j\hspace{0.2em}\)と定義する。共変微分はフレームの選び方に依らない。5.2 曲率
・平行移動的
曲率は平行移動の経路依存度。
・接空間的
\begin{align}
\comm{D_\mu}{D_\nu}&=-R^i_{j\mu\nu}z^j\pdv{z^i}\quad(\text{垂直成分しかない})
\end{align}
\(\hspace{0.2em}R^i_{j\mu\nu}\hspace{0.2em}\)は\(\hspace{0.2em}\varGamma^i_{\mu j}\hspace{0.2em}\)を用いてリーマンテンソルのように決まる。・余接空間的
\begin{align}
R^i{}_j&=\dd{\varGamma}+\varGamma\wedge\varGamma=\dfrac{1}{2}R\dd{x}\wedge\dd{x}\\
R^i{}_jz^j&=\dd{\omega^i}+\varGamma^i{}_j\wedge\omega^j\quad\eqref{eq:omegadef}\\
\because \dd{\omega}&=\dd{\varGamma}z-\varGamma\wedge\dd{z},\,\varGamma\wedge\omega=\varGamma\wedge\dd{z}+\varGamma\wedge\varGamma z
\end{align}
・公理的
曲率は共変微分の非可換度。(5.15)の確認には\eqref{eq:totaldiffdef}を使おう。
\begin{align}
R&=\dfrac{1}{2}R(\partial_\mu,\partial_\nu)\dd{x^\mu}\wedge\dd{x^\nu}\quad(\text{ベクトルかける2形式？})
\end{align}
・フレーム変換的
\begin{align}
\varGamma'&=\varPhi\varGamma\varPhi^{-1}\underbrace{+\varPhi\dd{\varPhi^{-1}}}_{-\dd{\varPhi}\varPhi^{-1}}\\
\dd{\varGamma'}+\varGamma'\wedge\varGamma'&=\dd(\varPhi\varGamma\varPhi^{-1}+\varPhi\dd{\varPhi^{-1}})+(\varGamma')\wedge(\varGamma')\\
&=\dd\varPhi\wedge\varGamma\varPhi^{-1}+\underbrace{\varPhi\dd{\varGamma}\varPhi^{-1}}_{\text{残る}}-\varPhi\varGamma\wedge\dd{\varPhi^{-1}}+\dd{\varPhi}\wedge\dd{\varPhi^{-1}}\\
&\quad +\underbrace{\varPhi\varGamma\wedge\varGamma\varPhi^{-1}}_{\text{残る}}+\varPhi\varGamma\wedge\dd{\varPhi^{-1}}-\dd{\varPhi}\wedge\varGamma\varPhi^{-1}-\dd{\varPhi}\wedge\dd{\varPhi^{-1}}
\end{align}
曲率は平坦な座標を得る手がかり。\(\hspace{0.2em}\varGamma\hspace{0.2em}\) is a pure gauge（\(-\dd{\varPhi^{-1}}^i{}_k\varPhi^k{}_j\)）なら平坦な座標が陽に得られるし、逆にフロベニウスの定理から、平坦な座標が得られれば曲率は pure gauge として表せる（らしい）。
5.3 接束の捩率と接続
共変微分の成分を考えるには\(\hspace{0.2em}TM\hspace{0.2em}\)上の接続が必要（\(T^\ast M\hspace{0.2em}\)上の接続と同値）。
曲率2形式の定義で登場した\(\hspace{0.2em}\laplacian\hspace{0.2em}\)は接続に依存しないので\(\hspace{0.2em};\mu;\nu\hspace{0.2em}\)とは違うし空間も違う。
\(\hspace{0.2em}TM\hspace{0.2em}\)で計量が決まれば、捩率\(\hspace{0.2em}0\hspace{0.2em}\)と計量が共変微分で不変の条件からLevi-Civita接続が一意に決まる。
5.4 同伴束上の接続
双対束
\(\nabla\hspace{0.2em}\)がRiemannian\(\hspace{0.2em}\iff \varGamma^i{}_{\mu j}=-\varGamma^j{}_{\mu i}\hspace{0.2em}\)
Whitney束
引き戻し束
\(\hspace{0.2em}R\hspace{0.2em}\)は反可換性が保たれるように引き戻す。
射影された接続
\(\hspace{0.2em}\nabla\equiv 0\hspace{0.2em}\)でも\(\hspace{0.2em}\nabla^\pi\equiv0\hspace{0.2em}\)とは限らない。
\(\hspace{0.2em}\pi\hspace{0.2em}\)があるファイバー計量に対する直交射影(?)で\(\hspace{0.2em}\nabla\hspace{0.2em}\)がRiemannianなら\(\hspace{0.2em}\nabla^\pi\hspace{0.2em}\)もRiemannianらしい。
5.5 主束上の接続
Maurer-Cartan形式
\(\hspace{0.2em}g^{-1}\dd{g}\hspace{0.2em}\)は左不変。
\begin{align}
\underbrace{\dd{g^{-1}}}_{-g^{-1}\dd{g}g^{-1}}\wedge\dd{g}+g^{-1}\dd{g}\wedge g^{-1}\dd{g}&=0\\
\dd{\qty(\varPhi_a\dfrac{\lambda_a}{2\i})}+\qty(\varPhi_b\dfrac{\lambda_b}{2\i})\wedge\qty(\varPhi_c\dfrac{\lambda_c}{2\i})&=0\\
\dfrac{\lambda_a}{2\i}\qty(\dd{\varPhi_a}+\dfrac{1}{2}f_{abc}\varPhi_b\wedge\varPhi_c)&=0\\
\lambda_af_{abc}&=-\i\lambda_b\lambda_c\quad(\text{ここでの構造定数の定義})
\end{align}
平行移動的
\begin{align}
A(x)&=A^a{}_\mu(x)\dfrac{\lambda_a}{2\i}\dd{x^\mu}\in T^\ast M\\
x(t)&\colon \text{\(\hspace{0.2em}M\hspace{0.2em}\)上の曲線}\\
g_{ij}(t)&\colon \text{切断（行列）}
\end{align}
\(\dot{g}_{ik}+A_{\mu ij}(x)\dot{x}^\mu g_{jk}=0\implies g_{ij}\hspace{0.2em}\)は\(\hspace{0.2em}x\hspace{0.2em}\)に沿って平行移動する。
\(\hspace{0.2em}i,j,k\hspace{0.2em}\)は行列添字。\(A_\mu = A^a{}_\mu\dfrac{\lambda_a}{2\i}\hspace{0.2em}\)と思われる。
あるいは
\begin{align}
g^{-1}\dd{g}{t}+g^{-1}\qty(A^a{}_\mu(x)\dfrac{\lambda_a}{2\i}\dd{x^\mu}{t})g=0.
\end{align}
接空間的
\begin{align}
\dd{t}&=\dot{x}^\mu\underbrace{\qty(\pdv{x^\mu}-A^a{}_\mu(x)\overline{L}_a)}_{D_\mu}\\
T(P)&=H(P)\oplus V(P)
\end{align}
右作用で分解は不変（後述）。余接空間的
\begin{align}
\omega&=g^{-1}Ag+\underbrace{g^{-1}\dd{g}}_{\text{垂直成分}}\in T^\ast P\\
g\to gg_0&\implies \omega\to g_0^{-1}\omega g_0\quad(\because\text{\(\hspace{0.2em}A\hspace{0.2em}\)は\(\hspace{0.2em}g\hspace{0.2em}\)への右作用で不変})
\end{align}
\(\hspace{0.2em}H(P)=\operatorname{Ker}\omega\hspace{0.2em}\)なので分解も右作用で不変。曲率2形式
\begin{align}
\varOmega&=\dd{\omega}+\omega\wedge\omega=g^{-1}Fg\quad(\text{垂直成分を持たない})\\
F&=\dd{A}+A\wedge A\\
\varOmega&\to g_0^{-1}\varOmega g_0\quad(\text{\(\hspace{0.2em}A\hspace{0.2em}\)が不変なので\(\hspace{0.2em}F\hspace{0.2em}\)も不変})\\
\text{Bianchi恒等式}&\colon \dd{\varOmega}+\omega\wedge\varOmega-\varOmega\wedge\omega=0
\end{align}
ゲージ変換
変換関数はファイバーの左作用としてはたらく。
ベクトル束と主束で変換の仕方が似ているもの：
\begin{align}
z\leftrightarrow g\\
\varGamma\leftrightarrow A\\
R\leftrightarrow F
\end{align}
\(\hspace{0.2em}A\hspace{0.2em}\)は\(\hspace{0.2em}\omega\hspace{0.2em}\)の、\(F\hspace{0.2em}\)は\(\hspace{0.2em}\varOmega\hspace{0.2em}\)の引き戻し。