命題

\(\Z\ncong \Z\oplus\Z\hspace{0.2em}\)

証明

仮に同型写像\(\hspace{0.2em}f\colon \Z\oplus\Z\to\Z\hspace{0.2em}\)が構成できたとする。\(f\hspace{0.2em}\)は単射なので\(\hspace{0.2em}f((0,0))=0\hspace{0.2em}\)であり、\(f((1,0))\eqqcolon a\neq 0,\\,f((0,1))\eqqcolon b\neq 0\hspace{0.2em}\)が成り立つ。このとき\(\hspace{0.2em}f((b,0))=bf((1,0))=ba=ab=af((0,1))=f((0,a))\hspace{0.2em}\)となり、\(f\hspace{0.2em}\)が単射であることに矛盾。