命題
\(\dfrac{c\dd[3]{\bm{p}}}{2E(\bm{p})}\hspace{0.2em}\) はLorentz不変である。
準備
デルタ函数との合成
\begin{align}
\delta(f(x))&=\sum_i\dfrac{\delta(x-\alpha_i)}{\abs{f'(\alpha_i)}}\quad(\text{\(\hspace{0.2em}f\hspace{0.2em}\)は重解を持たず、\(\qty{\alpha_i}_i\hspace{0.2em}\)は\(\hspace{0.2em}f\hspace{0.2em}\)の零点を尽くす})\label{eq:delta-compose}
\end{align}
が成り立つ。このことは、デルタ函数の1つの表示
\begin{align}
\delta(x)=\lim_{\ve\to 0}\dfrac{1}{\sqrt{2\pi\ve}}\e^{-x^2/2\ve}\label{eq:delta}
\end{align}
を用いて確かめられる。\(x\simeq\alpha_i\hspace{0.2em}\)において
\begin{align}
f(x)=f'(\alpha_i)(x-\alpha_i)+\order{(x-\alpha_i)^2}
\end{align}
と展開でき、\eqref{eq:delta}に代入すると
$$
\begin{aligned}
\eval{\delta(f(x))}_{x\simeq\alpha_i}&=\lim_{\ve\to 0}\dfrac{1}{\sqrt{2\pi\ve}}\exp\qty[-\dfrac{(x-\alpha_i)^2\abs{f'(\alpha_i)}^2}{2\ve}\qty[1+\order{x-\alpha_i}]]\\
&=\lim_{\ve'\to 0}\dfrac{1}{\sqrt{2\pi\ve'}\abs{f'(\alpha_i)}}\exp\qty[-\dfrac{(x-\alpha_i)^2}{2\ve'}\qty[1+\order{x-\alpha_i}]]\ \qty(\ve'=\dfrac{\ve}{\abs{f'(\alpha_i)}^2})\\
&=\dfrac{\delta(x-\alpha_i)}{\abs{f'(\alpha_i)}}
\end{aligned}
$$
となる。全ての\(\hspace{0.2em}\alpha_i\hspace{0.2em}\)について和を取れば\eqref{eq:delta-compose}となる。デルタ函数の性質
\begin{align}
\int_{-\infty}^\infty\dd{x} f(x)\delta(x-a)&=f(a)=f(a)\int_{-\infty}^\infty\dd{x}\delta(x-a)
\end{align}
であることを
\begin{align}
f(x)\delta(x-a)=f(a)\delta(x-a)\label{eq:delta-convolute}
\end{align}
と書く。デルタ函数は積分されて初めて意味を持つのだ。Lorentz変換
\(\hspace{0.2em}K\hspace{0.2em}\)系内で速さ\(\hspace{0.2em}v\hspace{0.2em}\)で動く質量\(\hspace{0.2em}m\hspace{0.2em}\)の粒子について、粒子の進む向きを\(\hspace{0.2em}K\hspace{0.2em}\)系の\(\hspace{0.2em}x\hspace{0.2em}\)軸に取ることで
\begin{align}
\varLambda^\mu{}_\nu&=\mqty[\dmat{\gamma & \gamma\beta \\ \gamma\beta & \gamma, 1, 1}]
\ \mathrm{where}\ \beta = \dfrac{v}{c}=\dfrac{\abs{\bm{p}}}{\sqrt{\bm{p}^2+m^2c^2}},\ \gamma=\dfrac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}\label{eq:lorentz-standard}
\end{align}
によって粒子の静止系\(\hspace{0.2em}K'\hspace{0.2em}\)からの変換が与えられる：
\begin{align}
p^\mu=\mqty(E(\bm{p})/c,\bm{p})^\mathrm{T}=\varLambda^\mu{}_\nu p'^\nu=\varLambda\mqty(E(\bm{p}')/c,\bm{0})^\mathrm{T}.
\end{align}
証明
ここでは計量を\(\hspace{0.2em}(+,-,-,-)\hspace{0.2em}\)とする。\(\dfrac{c\dd[3]{\bm{p}}}{2E(\bm{p})}\hspace{0.2em}\)は、\(E(\bm{p})=c\sqrt{\bm{p}^2+m^2c^2}\hspace{0.2em}\)より3次元空間内の回転で不変であることは明らかである。よって\eqref{eq:lorentz-standard}の変換で不変であることを示せばよい。
まず\(\hspace{0.2em}K'\hspace{0.2em}\)系で考える（全体での式中の\(\hspace{0.2em}\prime\hspace{0.2em}\)の数を減らしたいので）。\(\bm{p}'\hspace{0.2em}\)を固定し、\(p'^0\hspace{0.2em}\)の関数として見ると
\begin{align}
\theta(p'^0)\delta(p'^\mu p'_\mu-m^2c^2)&=\theta(p'^0)\delta((p'^0)^2-E^2(\bm{p}')/c^2)\\
&=\dfrac{c}{2E(\bm{p}')}\theta(p'^0)\qty\big[\delta(p'^0-E(\bm{p}')/c)+\underbrace{\delta(p'^0+E(\bm{p}')/c)}_{=0\ \text{due to}\theta(p'^0)}]
\end{align}
である（\(\theta(p'^0)\hspace{0.2em}\)がかかっているのは、物理的には\(\hspace{0.2em}p'^0>0\hspace{0.2em}\)であることを反映させるため）。\(\dd[4]{p'}\hspace{0.2em}\) およびLorentz不変な量 \(A(\bm{p}')\hspace{0.2em}\) をかけて全時空 \(p'^\mu\in(-\infty,\infty)^4\hspace{0.2em}\) で積分すれば
\begin{align}
\int_{\mathbb{M}^{1,3}}\dd[4]{p'}\theta(p'^0)\delta(p'^\mu p'_\mu-m^2c^2)A(\bm{p}')&=\int_{\mathbb{R}^3}\href{#mjx-eqn%3Aeq%3Aoriginal}{\dfrac{c\dd[3]{\bm{p}'}}{2E(\bm{p}')}}A(\bm{p}').\label{eq:original}
\end{align}
ローレンツ変換\eqref{eq:lorentz-standard}によって\eqref{eq:original}の左辺の各々は
\begin{align}
\dd[4]{p'}&=\det \varLambda^\mu{}_\nu \dd[4]{p}=\dd[4]{p}\\
p'^\mu p'_\mu&=p^\mu p_\mu\\
p'^0&=\gamma p^0+\gamma\beta p^1
\end{align}
と変換される。これらより
\begin{align}
&\theta(p'^0)\delta(p'^\mu p'_\mu-m^2c^2)\dd[4]{p'}\\
&=\theta(\gamma p^0+\gamma\beta p^1)\delta(p^\mu p_\mu-m^2c^2)\dd[4]{p}\\
&=\theta(\gamma p^0+\gamma\beta p^1)\dfrac{c}{2E(\bm{p})}\qty[\delta(p^0-E(\bm{p})/c))+\delta(p^0+E(\bm{p})/c))]\dd[4]{p}\\
&=\dfrac{c}{2E(\bm{p})}[\underbrace{\theta(\gamma E(\bm{p})/c+\gamma\beta p^1)}_{=1\ \because E/c=\sqrt{\bm{p}^2+m^2c^2}>\abs{p^1}}\delta(p^0-E(\bm{p})/c)\notag\\
&\qquad+\underbrace{\theta(-\gamma E(\bm{p})/c+\gamma\beta p^1)}_{=0}\:\underbrace{\delta(p^0+E(\bm{p})/c)}_{=0}]\dd[4]{p}\ (\eqref{eq:delta-convolute}\text{を用いた})\\
&=\dfrac{c}{2E(\bm{p})}\delta(p^0-E(\bm{p})/c)\dd[4]{p}\label{eq:uooo}
\end{align}
となる。こちらもLorentz不変な量\(\hspace{0.2em}A(\bm{p})\hspace{0.2em}\)をかけて全時空\(\hspace{0.2em}p'^\mu\in(-\infty,\infty)^4\)（\(\iff p^\mu\in(-\infty,\infty)^4\)）で積分すれば
\begin{align}
\int_{\mathbb{M}^{1,3}} \dd[4]{p'}\theta(p'^0)\delta(p'^\mu p'_\mu-m^2c^2)A(\bm{p})&=\int_{\mathbb{R}^3}A(\bm{p})\dfrac{c\dd[3]{\bm{p}}}{2E(\bm{p})}\label{eq:comp2}
\end{align}
となる。\eqref{eq:original}と\eqref{eq:comp2}を見比べて、\(A(\bm{p})=A(\bm{p}')\hspace{0.2em}\)なので体積要素\(\hspace{0.2em}\dfrac{c\dd[3]{\bm{p}}}{2E(\bm{p})}\hspace{0.2em}\)も空間\(\hspace{0.2em}\mathbb{R}^3\hspace{0.2em}\)全体での積分という意味でLorentz不変である。Minkowski時空のうちどの部分が空間となるかはLorentz変換によって変わることに注意。参考文献
- 柏 太郎『新版 演習場の量子論』
- 不変規格化因子 - EMANの素粒子論
- ランダウ＝リフシッツ『場の古典論』（前半）（PDF）
- ランダウ＝リフシッツ『場の古典論』
- 特殊相対性理論（PDF）
\begin{align}
\delta(f(x))&=\sum_i\dfrac{\delta(x-\alpha_i)}{\abs{f'(\alpha_i)}}\quad(\text{\(\hspace{0.2em}f\hspace{0.2em}\)は重解を持たず、\(\qty{\alpha_i}_i\hspace{0.2em}\)は\(\hspace{0.2em}f\hspace{0.2em}\)の零点を尽くす})\tag*{\eqref{eq:delta-compose}}
\end{align}
\begin{align}
\delta(x)=\lim_{\ve\to 0}\dfrac{1}{\sqrt{2\pi\ve}}\e^{-x^2/2\ve}\tag*{\eqref{eq:delta}}
\end{align}
\begin{align}
f(x)\delta(x-a)=f(a)\delta(x-a)\tag*{\eqref{eq:delta-convolute}}
\end{align}
\begin{align}
\varLambda^\mu{}_\nu&=\mqty[\dmat{\gamma & \gamma\beta \\ \gamma\beta & \gamma, 1, 1}]
\ \mathrm{where}\ \beta = \dfrac{v}{c}=\dfrac{\abs{\bm{p}}}{\sqrt{\bm{p}^2+m^2c^2}},\ \gamma=\dfrac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}\tag*{\eqref{eq:lorentz-standard}}
\end{align}
\begin{align}
\int_{\mathbb{M}^{1,3}}\dd[4]{p'}\theta(p'^0)\delta(p'^\mu p'_\mu-m^2c^2)A(\bm{p}')&=\int_{\mathbb{R}^3}\href{#mjx-eqn%3Aeq%3Aoriginal}{\dfrac{c\dd[3]{\bm{p}'}}{2E(\bm{p}')}}A(\bm{p}').\tag*{\eqref{eq:original}}
\end{align}
\begin{align}
\int_{\mathbb{M}^{1,3}} \dd[4]{p'}\theta(p'^0)\delta(p'^\mu p'_\mu-m^2c^2)A(\bm{p})&=\int_{\mathbb{R}^3}A(\bm{p})\dfrac{c\dd[3]{\bm{p}}}{2E(\bm{p})}\tag*{\eqref{eq:comp2}}
\end{align}