命題
対角化可能な演算子 \(A,B\hspace{0.2em}\) が可換なら \(A,B\hspace{0.2em}\) は同時対角化可能である。
証明
\(\hspace{0.2em}A\hspace{0.2em}\) の相異なる固有値を \(\qty{a_i}_i\hspace{0.2em}\) とし、\(a_i\hspace{0.2em}\) に対応する固有空間への射影演算子を \(\mathcal{P}_i\hspace{0.2em}\) とする。同様に \(B\hspace{0.2em}\) の相異なる固有値 \(\qty{b_j}_j\hspace{0.2em}\) および対応する射影演算子 \(\qty{\mathcal{Q}_j}_j\hspace{0.2em}\) も定める。すると
\begin{align}
A&=\sum_i a_i\mathcal{P}_i,& \sum_i\mathcal{P}_i&=I,&\mathcal{P}_i\mathcal{P}_{i'}&=\delta_{ii'}\mathcal{P}_i\label{eq:a}\\
B&=\sum_j b_j\mathcal{Q}_j,& \sum_j\mathcal{Q}_j&=I,&\mathcal{Q}_j\mathcal{Q}_{j'}&=\delta_{jj'}\mathcal{Q}_j\label{eq:b}
\end{align}
より
\begin{align}
\mathcal{P}_i&=\dfrac{\prod_{l\neq i}(A-a_lI)}{\prod_{l\neq i}(a_i-a_l)}\\
\mathcal{Q}_j&=\dfrac{\prod_{m\neq j}(B-b_mI)}{\prod_{m\neq j}(b_j-b_m)}
\end{align}
と表せる。実際 \(l\neq i\hspace{0.2em}\) に対して\begin{align*}
\dfrac{A-a_lI}{a_i-a_l}&=\mathcal{P}_i+\sum_{n\neq l,i}\dfrac{a_n-a_l}{a_i-a_l}\mathcal{P}_n
\end{align*}
となり、これを \(l\neq i\hspace{0.2em}\) に亘って掛け合わせると \(\mathcal{P}_i\hspace{0.2em}\) だけが残る。\(\mathcal{Q}_i\hspace{0.2em}\) も同様。そして、\(\mathcal{P}_i,\mathcal{Q}_j\hspace{0.2em}\) は \(A,B,I\hspace{0.2em}\) だけで表されているので可換である：\begin{align}
\comm{\mathcal{P}_i}{\mathcal{Q}_j}=0.
\end{align}
このとき\begin{align}
\sum_{i,j}\mathcal{P}_i\mathcal{Q}_j=&I,&(\mathcal{P}_i\mathcal{Q}_j)(\mathcal{P}_{i'}\mathcal{Q}_{j'})&=\delta_{ii'}\delta_{jj'}\mathcal{P}_i\mathcal{Q}_j\label{eq:pq-split}
\end{align}
が成り立つので \(\qty{\mathcal{P}_i\mathcal{Q}_j}_{i,j}\hspace{0.2em}\) は射影であり、\eqref{eq:a}、\eqref{eq:b}から導かれる\begin{align}
A&=\sum_{i,j} a_i\mathcal{P}_i\mathcal{Q}_j\\
B&=\sum_{i,j} b_j\mathcal{P}_i\mathcal{Q}_j
\end{align}
はスペクトル分解になっている。\(\mathcal{P}_i\hspace{0.2em}\) に対応する固有空間を \(W_i\hspace{0.2em}\)、\(\mathcal{Q}_j\hspace{0.2em}\) に対応する固有空間を \(V_j\hspace{0.2em}\) とすると、\(\eqref{eq:pq-split}\hspace{0.2em}\) は \(\qty{W_i\cap V_j}_{i,j}\hspace{0.2em}\) によって Hilbert 空間 \(\mathcal{H}\hspace{0.2em}\) を直和分解できることを意味している。各 \(W_i\cap V_j\hspace{0.2em}\) は依然 \(2\hspace{0.2em}\) 次以上の次元を持ちうるので適宜（Schmidt の直交化法などにより）\(W_i\cap V_j\hspace{0.2em}\) 内の正規直交基底をとることで、\(\mathcal{H}\hspace{0.2em}\) 全体の正規直交基底 \(\qty{\ket{a_i,b_j,k}}_{i,j,k}\hspace{0.2em}\) であって\begin{align}
A\ket{a_i,b_j,k}&=a_i\ket{a_i,b_j,k},& B\ket{a_i,b_j,k}=b_j\ket{a_i,b_j,k}
\end{align}
を満たすようなものを取ることができる。すなわち \(A,B\hspace{0.2em}\) は同時対角化可能である。余談
\(\hspace{0.2em}\comm{A}{B}=0,\comm{B}{C}=0\implies\comm{A}{C}=0\hspace{0.2em}\)だと何故か思い込んでいたけれど\(\hspace{0.2em}B=\mathbb{1}\hspace{0.2em}\)が反例でした。
参考文献
\begin{align}
A&=\sum_i a_i\mathcal{P}_i,& \sum_i\mathcal{P}_i&=I,&\mathcal{P}_i\mathcal{P}_{i'}&=\delta_{ii'}\mathcal{P}_i\tag*{\eqref{eq:a}}\\
B&=\sum_j b_j\mathcal{Q}_j,& \sum_j\mathcal{Q}_j&=I,&\mathcal{Q}_j\mathcal{Q}_{j'}&=\delta_{jj'}\mathcal{Q}_j\tag*{\eqref{eq:b}}
\end{align}
\begin{align}
A&=\sum_i a_i\mathcal{P}_i,& \sum_i\mathcal{P}_i&=I,&\mathcal{P}_i\mathcal{P}_{i'}&=\delta_{ii'}\mathcal{P}_i\tag*{\eqref{eq:a}}\\
B&=\sum_j b_j\mathcal{Q}_j,& \sum_j\mathcal{Q}_j&=I,&\mathcal{Q}_j\mathcal{Q}_{j'}&=\delta_{jj'}\mathcal{Q}_j\tag*{\eqref{eq:b}}
\end{align}
\begin{align}
\sum_{i,j}\mathcal{P}_i\mathcal{Q}_j=&I,&(\mathcal{P}_i\mathcal{Q}_j)(\mathcal{P}_{i'}\mathcal{Q}_{j'})&=\delta_{ii'}\delta_{jj'}\mathcal{P}_i\mathcal{Q}_j\tag*{\eqref{eq:pq-split}}
\end{align}